Funciones exponenciales.
Las funciones exponenciales son funciones del tipo \(f\left(x\right)=a^x\) o \(y=a^x\) donde la variable se encuentra en el exponente y el número “\(a\)” llamado base es un número real mayor que cero y distinto de uno \((a\in\mathbb{R}^+-\left\{1\right\})\).
Ejemplos de funciones exponenciales son las funciones:
$$f\left(x\right)=2^x+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=5^{2x+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3^{x^2+2x+1}$$
Características o propiedades de la función exponencial \(f\left(x\right)=a^x\)
Dominio de \(f\left(x\right)=\left\{x|x\in\mathbb{R}\right\}\)
$$Rango~~f(x)=\left\{\begin{array}1(0,\infty)~~~~si~~f(x)=a^x\\(-\infty,\infty)~~~~si~~f(x)=a^x+k\end{array}\right.$$
La función \(f(x)=a^x\) es continua (no tiene huecos en su gráfica) e inyectiva (para cada valor de \(x\) existe un único valor \(a\) que produce dicha imagen).
Es creciente si la base \( a > 1 \) y decreciente para \(0 < a < 1.\)
Su gráfica interseca el eje \(y\) en \(y=1.\) Esto es porque \(f\left(0\right)=1\)
Los puntos \(P_1\left(-1,\frac{1}{a}\right),\ \ P_2\left(0,1\right),\ \ P_3\left(1,a\right)\) siempre están en la gráfica.
No tiene intercepto en el eje \(x\) si para \(f\left(x\right)=a^x+k,\) se tiene \(k\ \geq0.\) Si \(k < 0\) sí puede intersecar el eje \(x\).
La recta \(y=k\) es asíntota horizontal.
Gráfica de una función exponencial.
La grafica de una función exponencial como se muestra en la figura de abajo, es una curva ininterrumpida que carece de valles y crestas, aumenta de izquierda a derecha si la base \(a>1\) y cae de izquierda a derecha si la base \(a < 1\).
Para graficar una función exponencial basta solo con darle valores a la variable independiente (en este caso \(x\)) en la función \(f\left(x\right)=a^x+k\) para formar pares ordenados que luego han de unirse con una curva suave cuya asíntota horizontal es \(y=k\) teniendo en cuenta sus características.
Además, para toda función \(f\left(x\right)=\ a^x\) su gráfica pasa ha de pasar por los puntos \(P_1\left(-1,\frac{1}{a}\right),\ \ P_2\left(0,1\right),\ \ P_3\left(1,a\right)\) como ya se ha dicho.
Ejemplo. Bosquejar la gráfica de la función \(f(x)={2}^{x}\)
Solución: comience por darle valores a la variable independiente \(x\) para ver las imágenes producidas.
$$\begin{array}{r |r |r |r |r |l} \mathrm{valores~ de~} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3& 4& 5& 6\\ \hline
\mathrm{imágenes~ de }~f(x)&0.5&1&2&4&8&16&32&64
\end{array}$$
De donde se tienen los puntos
$$\left(-1,0.5\right),\ \left(0,1\right),\left(1,\ 2\right),\ \left(2,\ 4\right),\ \left(3,\ 8\right),\ \left(4,\ 16\right),\ \left(5,\ 32\right)\ y\ \left(6,\ 64\right)$$
Algunas consideraciones importantes antes de graficar son:
\(f(x)\) es creciente (mientras avanza a la derecha crece) porque \(2>1\)
El intercepto en\(y\) está en \(y=1\) así que cruza por el punto \(\left(0,1\right).\)
La recta \(y=0\) (el eje \(x)\) es una asíntota horizontal (se acerca, se acerca, pero no lo toca), ya que se puede escribir la función como \(f\left(x\right)=2^x+0.\)
Función exponencial natural.
La función exponencial \(f\left(x\right)=\ a^x\) permite elegir cualquier base \(a > 0\ \land\ a\neq1,\) estas restricciones son debido a que si \(a< 0\) se puede encontrar un número complejo como por ejemplo, \(f\left(x\right)=\left(-4\right)^\frac{1}{2}.\) Además \(f\left(x\right)=1^x=1\) para todo valor \(x\) y \(f\left(0\right)=a^0=1\) para todo valor de \(a\neq0.\)
Sí se toma como base a el número de Euler \(e=2.718281828459\ldots\) la función \(f\left(x\right)=\ a^x\) se transforma en \(f\left(x\right)=e^x.\) Dicha función es llamada función exponencial natural la cual es la función exponencial más importante conocida.
Ecuaciones exponenciales
Antes de trabajar con ecuaciones exponenciales y logarítmicas conviene recordar un poco acerca del manejo de los números, específicamente las propiedades de los exponentes ya que el dominio de éstas, facilitan encontrar las soluciones a dichas ecuaciones de una manera más cómoda.
Propiedades o leyes de los exponentes.
\begin{align}
1.~~& x^n=x\cdot x\cdot x\cdot x\ldots x ~~~~~~{\rm Se~ multiplica}~ n {\rm veces.}\\
2.~~& x^1=x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ x:x\ \in\ \mathbb{R}\\
3.~~& x^mx^n=\ x^{m+n}~~ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm ~Multiplicación~ de~ igual~ base}\\
4.~~&\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}~~~~~~~\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm División~ de~ igual~ base}\\
5.~~&x^0=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \forall\ x:x\ \in\ \mathbb{R}-\left\{0\right\}~~ \\
6.~~&{{(x}^m)\ }^n=x^{m\left(n\right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rm Potencia~de~potencia}\\
7.~~&\left(u^mv^n\right)^x=u^{mx}v^{nx}~~~~~~~~~\ \ \ {\rm Distributiva~ con~ la~ multiplicación}\\
8.~~&\left(\frac{u^m}{v^n}\right)^x=\frac{u^{mx}}{v^{nx}}~~~~~~~~~~~\ \ \ {\rm Distributiva~ con~ la~ división.}\\
9.~~&x^{-n}=\ \frac{1}{x^n}\ \ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Exponente~ negativo}\\
10.~~&x^\frac{m}{n}=\sqrt[n]{x^m}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Exponente~fraccionario}\end{align}
Nota. Las propiedades \(7,8,9,\rm{y}~ 10\) solo se verifican cuando las bases son positivas. Si la base es negativa y los exponentes son números fraccionarios, se debe proceder con más cautela, desarrollando las potencias más próximas a la base primero.
Una ecuación exponencial es una ecuación en la cual la variable aparece en forma de exponente. Son ejemplos de ecuaciones exponenciales las siguientes expresiones:
\begin{array}i
2^x=8\ \ \ &a^x-a^8=0\ \ \ &b^{5x-3}=b^{5x+14}\ \ \ & 2^{3x-1}+2^{6x-4}-8=0\end{array}
Resolver una ecuación exponencial es encontrar el valor o los valores de la variable que hacen la ecuación verdadera (las raíces de la ecuación).
Existen varios métodos para encontrar la solución de una ecuación exponencial, la elección del método de solución dependerá del tipo de ecuación y de la destreza matemática de la persona que intenta dar con la solución, como se ilustra a continuación.
Ejemplo. Resolver la ecuación exponencial \(2^x=8\)
Solución: escribiendo \(2^x=8\) como \(2^x=2^3\) se tienen potencias iguales, de iguales bases, por tanto \(x=3\)
Ejemplo 2. Resolver la ecuación \(a^x-a^8=0\)
Solución: reescribiendo la expresión se tiene \(a^x=a^8\) de donde \(x=8\).
Ejemplo 3. Resolver \(n^{5x-3}=n^{5x+14}\left(n^{8x+7}\right)\)
Solución:
\begin{align}
&n^{5x-3}=n^{5x+14+8x+7}~~~~~\rm{Sumando~ los~ exponentes}\\
&n^{5x-3}=n^{13x+21}~~~~~~~~~~~~\rm{Simplificando}\\
&5x-3=13x+21~~~~~~~ \rm{Por~ ser~ potencias~ iguales,~ de~ bases~ iguales}\\
&5x-13x=21+3~~~~~~~\rm{Trasposición}\\
&-8x=24~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rm{Simplificando}\\
&x=-3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\rm Despejando}~x \end{align}
Comprobando el resultado:
\(n^{5\left(-3\right)-3}=n^{5\left(-3\right)+14}\cdot n^{8\left(-3\right)+7}\)
\(n^{-15-3}=n^{-15+14}n^{-24+7}\)
\(n^{-18}=n^{-1}\cdot n^{-17}\)
Lo cual es verdadero por propiedades de los exponentes.
Ejemplo 4. Resolver \(4.~2^{3x-1}+2^{6x-4}-8=0~~~~~~~~\)
Solución: por propiedades de los exponentes se reescribe la ecuación como,
\begin{align}
&\frac{2^{3x}}{2}+\frac{2^{6x}}{2^4}-8=0~~~~~~~~~~~ {\rm Propiedad~ del~ exponente ~negativo.}\\
&\frac{2^{3x}}{2}+\frac{2^{6x}}{16}-8=0~~~~~~~~~~~ {\rm Reescribiendo~la~ ecuación}\\
&16\left[\frac{2^{3x}}{2}+\frac{2^{6x}}{16}-8=0\right]~~{\rm Multiplicando~por~ el}~ m.c.ds.\\
&8\left(2^{3x}\right)+2^{6x}-16\left(8\right)~~~~~~~~~{\rm Simplificando}\\
&2^{6x}+8\left(2^{3x}\right)-16\left(8\right)~~~~~~~{\rm Ordenando}\\
\end{align}
Si \(2^{3x}=u\) en la ecuación \(2^{6x}+8\left(2^{3x}\right)-16\left(8\right)\) se tiene la ecuación cuadrática \(u^2+8u-16(8)\) que puede resuelta por factorización es,
\begin{align}
&u^2+8u-16(8)=0\\
&\left(u+16\right)\left(u-8\right)=0\\
&\left(u+16\right)\left(u-8\right)=0\\
&\left\{\begin{array}1 u+16=0\Longleftrightarrow u=-16\\u-8⟺u=8\end{array}\right.\end{align}
Deshaciendo la sustitución \(u=2^{3x}\) se tiene:
\(2^{3x}=-16\) y 2\(^{3x}=8\) las cuales pueden escribirse como \(2^{3x}=-2^4\) y \(2^{3x}=2^3\)
Como por definción para \(a^x=n\) la base \(a>0\) la expresión \(2^{3x}=-2^4\) no es solución y queda descartada.
Si \(2^{3x}=2^3\Longrightarrow3x=3 \Longleftrightarrow \fbox{$x=1$}\) es la solución buscada.
Comprobando el resultado \(x=1\) en la ecuación se tiene: \begin{align} &2^{3x-1}+2^{6x-4}-8=0\\ &2^{3\left(1\right)-1}+2^{6\left(1\right)-4}-8=0\\ &2^{3-1}+2^{6-4}-8=0\\ &2^2+2^2-8=0\\ &4+4-8=0\end{align} Lo cual es verdadero.
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Aplicaciones. Modelos exponenciales
Como aplicaciones directas de las funciones exponenciales se encuentran las función exponenciales del tipo \(P\left(t\right)=P_0e^{kt}\) donde la única variable es \(t\), estas establecen un modelo importante para la explicación de ciertos fenómenos científicos, de ingeniería y de negocios. Dichos modelos son llamados modelos poblacionales o modelo de población.
En dichos modelos si \(k>0\) el modelo es de crecimiento, si \(k< 0\) el modelo es de decrecimiento. En algunos casos la cantidad inicial \(P_0\) se duplica constantemente cada cierto tiempo, para tales casos se tiene el modelo \(P\left(t\right)=P_02^{t/n}\) donde \(n\) es es tiempo que tarda en duplicarse la muestra.
Estos modelos son muy diversos, cada uno puede ser distinto del otro, con la utilización del Cálculo su estudio es más simple, pero en este tratado no abordaremos las técnicas relacionadas al Cálculo por pertenecer a un curso superior a este. Algunos ejemplos de estos modelos se discuten a continuación.
Educación financiera. La educación financiera es aquella que trata del estudio de las elementos pertenecientes o relativos a la Hacienda pública, a las cuestiones bancarias, y bursátiles o a los grandes negocios (o pequeños) mercantiles con la finalidad de que el individuo tenga un manejo adecuado de su economía. Dicha educación es importantísima en las sociedades modernas debido a que el éxito en el manejo del dinero o cualquier otra actividad económica depende de esta. Las personas con poca o ninguna educación financiera están condenados a una vida laboriosa ardua sin importar que sean profesionales o no. Algunos tópicos de educación financiera pueden ser modelados mediante el uso de las funciones exponenciales para su comprensión, entre ellos están los sistemas de recompensas (pagos por servicios o ventas), depreciación, interés compuestos, entre otros, como se ilustra en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1. Depreciación. La depreciación de un artículo es la disminución en el tiempo de su precio de venta, con relación a su precio de compra al ser comparado con otro de su misma especie. Imagine que compra un automóvil por $1 800 000 el cual se deprecia un 5% de su valor cada año. Escriba el valor del automóvil como función del tiempo y determine su valor para el primer y el décimo año de comprado.
Solución: dado que pierde un \(5\%\) anual, entonces se deprecia 0.05 de su valor cada año.
\begin{align}
&V\left(1\right)=V_0-0.05V_0\Longrightarrow V\left(1\right)=0.95V_0\\
&V\left(2\right)=0.95V\left(1\right)=0.95\left(0.95V_0\right)={0.95}^2\left(V_0\right)\\
&V\left(3\right)=0.95V\left(2\right)=0.95\left({0.95}^2V_0\right)={0.95}^3\left(V_0\right)\\
&V\left(t\right)={0.95}^t\left(V_0\right)\end{align}
Por tanto, se pueden escribir las respuestas como
\begin{align}
&V\left(1\right)=0.95($1\ 800\ 000)=$1\ 710\ 000\\
&V\left(10\right)={0.95}^{10}\left(V_0\right)={0.95}^{10}\left($1\ 800\ 000\right)=$1\ 077\ 726.\ 49\end{align}
Se debe tener cuidado de pensar que o suponer que la depreciación es lineal y calcular está como \(5\%\) durante 10 años es \(50\%\) y luego el \(50%\) de \($1 800 000\) es \($900 000\), esto es incorrecto.
Interés compuesto. Ciertas inversiones, como las cuentas de ahorro, o cuando entregamos nuestro dinero en calidad de préstamos pagan una tasa anual de interés, que se puede componer en forma anual, trimestral, mensual, semanal, a diario, etcétera.
Si se invierte una cantidad \(C\) a una tasa \(i\) de interés simple, durante un periodo de tiempo \(t\) se tiene que el monto a recibir \(M\) cada año es la suma de la cantidad invertida más el interés \(\left(Cit\right)\) de donde \(M=C+Cit\Longrightarrow M=C\left(1+it\right)\).
Sin embargo, cuando el interés generado es compuesto (que se compone cada cierto tiempo) el monto como función del tiempo \(M\left(t\right)\) que se recibe al invertir una cantidad \(C\) a una tasa \(r\) en un tiempo \(t\) está dado por la expresión
$$M\left(t\right)=c\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$
Este hecho se ilustra a través de la tabla siguiente:
\begin{array}i
{\rm año}& ~ {\rm inversión}& {\rm monto ~a ~recibir}\\
1& C& M_1=C(1+i)\\
2& M_1& M_2=C(1+i)^2\\
3& M_2& M_3=C(1+i)^3\\
t& M_t& M_t=C(1+i)^t\\
\end{array}
En general, si una cantidad inicial \(C\) se invierte a una tasa anual de interés \(r\), que se compone n veces por año, la cantidad que hay al final de t años se calcula con la expresión:
$$M=C\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$$
Si \(n\) aumenta continuamente en cada instante de tiempo entonces haciendo \(n=mr\) el monto está dado por:
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mrt}\Longrightarrow P=P_o\left[\left(1+\frac{r}{m}\right)^m\right]^{rt}$$
Al estudiar cálculo se verá que cuando \(n\) crece sin límite el límite al cual tiende el factor $$\left(1+\frac{r}{m}\right)^m$$ es igual al número \(e\) entonces el pago que se debe hacer es $$P=P_oe^{rt}$$
Ejemplo. Se invierte una cantidad de \(100~000\) en un certificado financiero a una tasa de un \(8.5\%.\) Encontrar el monto a recibir por dicha inversión en un tiempo de seis años si:
1. La inversión se capitaliza anualmente.
2.La inversión se capitaliza semestralmente.
3.La inversión se capitaliza cuatrimestralmente.
2.La inversión se capitaliza trimestralmente.
5.La inversión se capitaliza continuamente.
Solución:
Parte \(a.~~ P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=1\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{1}\right)^{1\left(6\right)}=163\ 146.75$$
Parte \(b.~~ P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=2\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{2}\right)^{2\left(6\right)}=164~783.13$$
Parte \(c.~~P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=3\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{3}\right)^{3\left(6\right)}=165~352.39$$
Parte \(d.~~P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n=4\)
$$P=P_o\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=100000\left(1+\frac{0.085}{4}\right)^{4\left(6\right)}=165\ 641.69$$
Parte \(e. P_o=100~000 \ \ \ \ \ r=8.5\%=0.085 \ \ \ \ t=6 \ \ \ \ \ \ n\rightarrow\infty\)
$$P=P_oe^{rt}=100000e^{0.085\left(6\right)}=166\ 529.12$$
Note que el dinero no crece al infinito, tiene un límite.
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Resolver las ecuaciones exponenciales, \begin{align} &1.~~2^x=32\\ &2.~~7^{-3x}=\frac{1}{2401}\end{align}
Resolver las ecuaciones, \begin{align} &1.~~e^{5x-2}=30\\ &2~~\left(e^2\right)^{x^2}-\frac{1}{e^{5x+3}}=0\end{align}
Interés compuesto. Se invierte una cantidad de \($100 000\) en un certificado financiero a una tasa de interés compuesto un \(8.5\%\). Encontrar el monto a recibir por dicha inversión en un tiempo de seis años si:
a. La inversión se capitaliza anualmente.
b. La inversión se capitaliza semestralmente.
c. La inversión se capitaliza cuatrimestralmente.
d. La inversión se capitaliza trimestralmente.
e. La inversión se capitaliza continuamente.
Una población de bacterias. Pasadas cinco horas, se observa que la cantidad de bacterias en un cierto cultivo se ha triplicado. Basado en esta observación dar una respuesta analítica para:
a) Modelo exponencial para la cantidad de bacterias como función del tiempo.
b) Cantidad de bacterias presentes después de dos días.
c) Tiempo en el cual el cultivo alcanza cien veces su tamaño inicial.
Población de peces. Un modelo de crecimiento para una comunidad pequeña de peces está dado por \(P\left(t\right)=4500e^{kt}\). Si la población inicial aumenta \(15\%\) en dos meses ¿Cuál será la población en dos años, según este modelo?
Tiempo de duplicación. Una empresa dedicada al cultivo, envasado y comercialización de cepas dispone de tecnologías con la que puede duplicar las cepas originales constantemente cada 24 horas, suponiendo que no hay alteraciones en el ciclo productivo y sabiendo que la empresa dispone de \(2\ 000\) contenedores, con capacidad para plantar cien cepas en cada contenedor.
a. Determine una función exponencial que modele la situación.
b. Determine si la empresa puede cumplir o no con un pedido de \(2\ 000\ 000\) para tres días. ¿De no ser así cuándo lo lograría?
Decaimiento radioactivo (vida media). Al principio había \(200\) miligramos de una sustancia radiactiva y se obserbó que pasadas seis horas, la masa disminuyó \(3\%.\)
a. Determine el modelo exponencial de la cantidad residual de la sustancia que se desintegra, pasadas \(t\) horas.
b. Calcule la cantidad que queda después de 24 horas y la vida media de la sustancia.